Курс представляет собой введение в фундаментальные понятия и методы современной алгебраической геометрии: схемы, пучки и когомологии. Владение этими понятиями необходимо для изучения более специальных разделов алгебраической геометрии и её приложений. В первом разделе мы познакомимся с понятиями аффинного и проективного спектра кольца, общей схемы, когерентного пучка, пучка дифференциалов. Будут описаны конструкции относительного спектра и раздутия пучка идеалов. Затем мы определим когомологии Чеха пучка на схеме и изучим их основные свойства. С помощью них будут проделаны так называемые Серровские вычисления для когомологий обратимых пучков проективного пространства. С помощью них мы получим двойственность Серра для когомологий, играющую важнейшую роль в алгебраической геометрии.

Мы изучим различные типы морфизмов между схемами, такие как отделимые, собственные, конечные, плоские, гладкие этальные. Мы введем понятие плоского семейства многообразий и пучков на них, важного для теории деформаций, и укажем их важные когомологические свойства, например, постоянство многочлена Гильберта. Мы обсудим фундаментальную теорему о полунепрерывности размерности слоев морфизма и полунепрерывности размерностей групп когомологий в семействах многообразий. Также мы постараемся обсудить теорему Безу, теорему Бертини об общем гиперплоском сечении и теорию пересечений.

В заключительном разделе курса акцент будет сделан на теории торических алгебраических многообразий. С одной стороны, это ознакомит слушателя с одним из важнейших для приложений классов алгебраических многообразий, а с другой послужит конкретной и относительно несложной иллюстрацией общих понятий, изученных ранее.

Основная литература:

• Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия, М.: Мир, 1981.
• W. Fulton, Introduction to toric varieties, Princeton University Press, 1993.

This course will give an introduction to "condensed mathematics" in the sense of Clausen and Scholze, a synthesis of homological algebra and topology that allows a more "algebraic" treatment of both adic and real functional analysis. We begin by reviewing various basic notions in category theory and homological algebra (in particular, categories of presheaves and sheaves, Kan extensions, and Grothendieck abelian categories), before developing the theory of condensed abelian groups (an analogue of topological abelian groups with better homological properties). As time and interest permit, we discuss applications to number theory (p-adic analysis), algebraic geometry (Grothendieck duality), and complex analysis (finiteness theorems in cohomology).

В курсе будет рассказано про основные понятия и методы в современной алгебре. Курс будет сопровождаться примерами и задачами для самостоятельного решения.

Примерная программа курса:

(Теория групп)

Общие понятия теории групп: действие на множестве, орбиты, стабилизатор; подгруппы, классы смежности, классы сопряженности; гомоморфизм, ядро и образ, нормальная подгруппа. Основные теоремы: формула разложения на орбиты, следствия из нее, теоремы о гомоморфизме.

• Силовские подгруппы и теоремы Силова. Строение конечнопорожденных абелевых групп.
• Коммутант, разрешимая группа, условия (не) разрешимости. Пример с группами S_n и A_n.
• Теория представлений конечных групп: полная приводимость, лемма Шура, характеры, соотношение ортогональность, теорема Бернсайда.

(Кольца и модули)

• Общие понятия теории коммутативных колец: гомоморфизм, идеалы; делители нуля, локализация; факториальные кольца; нетеровость. Основные теоремы: существование максимальных идеалов, китайская теорема об остатках, факториальность кольца главных идеалов, теорема Гильберта.
• Модули: основные определения, операции с модулями (факторы, тензорное/внешнее/симметрическое произведения); теорема Жордана-Гельдера; модули над кольцом главных идеалов («жорданова нормальная форма»); полупростые кольца и их представления.
• Некоторые вспомогательные алгебраические конструкции: гомологии, группа Брауэра, кольцо Гротендика.

Основная литература:

• С. Ленг, Алгебра, М.: Наука, 1965.
• И. Р. Шафаревич, Основные понятия алгебры, Алгебра — 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 11, ВИНИТИ, М., 1986, 5 — 279.

Группа — это множество, на котором задана операция ассоциативного умножения с единицей, и в котором каждый элемент обратим. Группы образуют фундаментальную алгебраическую структуру, формализующую понятие симметрии, и по этой причине играют исключительно важную роль в математике и ее приложениях. Группы Ли одновременно являются гладкими многообразиями и естественно возникают в качестве симметрий геометрических пространств. «Линеаризация» групповых преобразований приводит к богатой теории алгебр Ли, которая во многом параллельна теории групп Ли, но также представляет самостоятельный интерес. Алгебры Ли имеют «больше» представлений и приводят к далеко идущим обобщениям, например таким, как супералгебры Ли и квантовые группы. Данный курс является введением в общую теорию групп и алгебр Ли, теорию полупростых алгебр Ли с элементами теории представлений и приложениями к физическим проблемам.

Алгебраическая топология является фундаментом для значительной части современной математики, а также источником многих ее идей. Методы алгебраической топологии широко используются как в математике, так и в разнообразных приложениях. Данный спецкурс ставит целью познакомить слушателей как со стандартным классическим подходом к данному предмету, так и дать представление о его более современных методах и идеях. В частности, в процессе его изучения студенты познакомятся с языком теории категорий, элементами гомологической алгебры и симплициальными множествами, занимающими важное место в современной математике.

Темы:

• Сингулярные гомологии, их гомотопической инвариантность. Точная последовательность пары. Вырезание. Аксиомы Эйленберга-Стинрода.
• Расслоения в смысле Гуревича. Корасслоения. Расслоенная и корасслоенная последовательности. Гомотопический слой.
• Гомотопический теория клеточных пространств. Клеточная аппроксимация. Башни Постникова и Уайтхеда. Пространства Эйленберга-Маклейна. Когомологии как представимый функтор. Теория препятствий.

Курс посвящен теории особенностей алгебраических многообразий. С формально-локальной точки зрения гладкие точки алгебраических многообразий одинаковы, и наибольший интерес представляют точки, в которых гладкость нарушается, т. е. особые точки. Теория особенностей доставляют массу задач интересных как сами по себе, так и с точки зрения приложений к другим областям: классификации алгебраических многообразий, зеркальной симметрии и др. В данном курсе планируется познакомить слушателя со следующими аспектами теории особенностей.

Примерная программа курса:

• Топологическая и аналитическая теория: расслоение и слой Милнора, число Милнора, монодромия.
• Важные примеры: факторособенности по конечным группам, торические особенности, особенности, возникающие в программе минимальных моделей.
• Проблема разрешения особенностей: понятие раздутия, вложенное разрешение, разрешение особенностей алгебраических кривых и поверхностей.

Основная литература:

• Дж. Милнор, Особые точки комплексных гиперповерхностей, М.: Мир, 1971.
• J. Seade, On the topology of isolated singularities in analytic spaces, Birkhaeuser, 2006.
• Ю. Г. Прохоров, Особенности алгебраических многообразий, М.: МЦНМО, 2009.
• S. D. Cutkosky, Resolution of singularities, AMS, 2004.

Предварительный список тем на осенний семестр 2023:

• Триангулированные категории и триангулированные функторы.
• Производные категории абелевых категорий.
• Когерентные и квазикогерентные пучки на схемах. Производные категории (квази)когерентных пучков.
• Производные функторы в алгебраической геометрии.
• Доказательство двойственности Гротендика-Вердье.

Математическая аксиоматика квантовой механики приводит к возникновению новой математической дисциплины — некоммутативной теории вероятностей. При таком подходе случайные величины определяются положительными операторнозначными мерами, а математические ожидания задаются положительными функционалами на алгебре всех ограниченных операторов. При этом свойства дисперсий и ковариаций в некоммутативной теории вероятностей оказываются отличными от их классических аналогов.