Курс представляет собой введение в фундаментальные понятия и методы современной алгебраической геометрии: схемы, пучки и когомологии. Владение этими понятиями необходимо для изучения более специальных разделов алгебраической геометрии и ее приложений. В первом разделе мы познакомимся с понятиями аффинного и проективного спектра кольца, общей схемы, когерентного пучка, пучка дифференциалов. Будут описаны конструкции относительного спектра и раздутия пучка идеалов. Затем мы определим когомологии Чеха пучка на схеме и изучим их основные свойства. С помощью них будут проделаны так называемые Серровские вычисления для когомологий обратимых пучков проективного пространства. С помощью них мы получим двойственность Серра для когомологий, играющую важнейшую роль в алгебраической геометрии.

Мы изучим различные типы морфизмов между схемами, такие как отделимые, собственные, конечные, плоские, гладкие этальные. Мы введем понятие плоского семейства многообразий и пучков на них, важного для теории деформаций, и укажем их важные когомологические свойства, например, постоянство многочлена Гильберта. Мы обсудим фундаментальную теорему о полунепрерывности размерности слоев морфизма и полунепрерывности размерностей групп когомологий в семействах многообразий. Также мы постараемся обсудить теорему Безу, теорему Бертини об общем гиперплоском сечении и теорию пересечений.

В заключительном разделе курса акцент будет сделан на теории торических алгебраических многообразий. С одной стороны, это ознакомит слушателя с одним из важнейших для приложений классов алгебраических многообразий, а с другой послужит конкретной и относительно несложной иллюстрацией общих понятий, изученных ранее.

Основная литература:

• Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия, М.: Мир, 1981.
• W. Fulton, Introduction to toric varieties, Princeton University Press, 1993.

• Сингулярные гомологии, их гомотопической инвариантность. Точная последовательность пары. Вырезание. Аксиомы Эйленберга-Стинрода.
• Расслоения в смысле Гуревича. Корасслоения. Расслоенная и корасслоенная последовательности. Гомотопический слой.
• Гомотопический теория клеточных пространств. Клеточная аппроксимация. Башни Постникова и Уайтхеда. Пространства Эйленберга-Маклейна. Когомологии как представимый функтор. Теория препятствий.

• Бирациональные морфизмы, форма пересечений на поверхностях, формула присоединения, раздутие и стягивание (−1)-кривых, критерий Кастельнуово.
• Программа минимальных моделей для поверхностей, минимальные поверхности, линейчатые поверхности (в том числе поверхности Хирцебруха), рациональные поверхности и поверхности дель Пеццо, критерий рациональности Кастельнуово.
• Особенности поверхностей, существование разрешения особенностей, дискрепатнтности, дювалевские особенности, фактор-особенности, lc и klt особенности.
• Non-klt локус, принцип связности Коллара-Шокурова, обращение присоединения.
• Программа минимальных моделей и ее вариации: логарифмическая, относительная, с действием группы, для линейных систем.
• Трехмерные терминальные особенности, расслоения Мори в трехмерном случае, расслоения на коники, расслоения на поверхности дель Пеццо, многообразия Фано.

• A. Beauville, Complex algebraic surfaces,
• Ю. Г. Прохоров, Особенности алгебраических многообразий,
• Ja ́. Kolla ́r, K. Smith, A. Corti, Rational and nearly rational varieties,
• K. Matsuki, Introduction to the Mori theory,
• Ja ́. Kolla ́r, S. Mori, Birational geometry of algebraic varieties.